试题

（2006·辽宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A=30°，OD=20cm．求CD的长．

解法（1）：∵OD⊥AB，∠A=30°，
∴OA=OD÷tan30°=20

3

，AD=2OD=40．
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=40

3

，且∠ACB=90°．
∴AC=AB·cos30°=40

3

×

3

2

=60．
∴DC=AC-AD=60-40=20（cm）．

解法（2）：过点O作OE⊥AC于点E，
∵OD⊥AB于点O，∠A=30°，
∴AD=2OD=40，AO=OD÷tan30°=20

3

．
∴AE=AO·cos30°=20

3

×

3

2

=30．
∵OE⊥AC于点E，
∴AC=2AE=60．
∴DC=AC-AD=60-40=20（cm）．

解法（3）：∵OD⊥AB于点O，AO=BO，
∴AD=BD．
∴∠1=∠A=30°．
又∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠2=60°-30°=30°=∠A．
又∵∠AOD=∠C=90°，
∴△AOD≌△BCD．
∴DC=OD=20（cm）．
解法（1）：∵OD⊥AB，∠A=30°，
∴OA=OD÷tan30°=20

3

，AD=2OD=40．
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=40

3

，且∠ACB=90°．
∴AC=AB·cos30°=40

3

×

3

2

=60．
∴DC=AC-AD=60-40=20（cm）．

解法（2）：过点O作OE⊥AC于点E，
∵OD⊥AB于点O，∠A=30°，
∴AD=2OD=40，AO=OD÷tan30°=20

3

．
∴AE=AO·cos30°=20

3

×

3

2

=30．
∵OE⊥AC于点E，
∴AC=2AE=60．
∴DC=AC-AD=60-40=20（cm）．

解法（3）：∵OD⊥AB于点O，AO=BO，
∴AD=BD．
∴∠1=∠A=30°．
又∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠2=60°-30°=30°=∠A．
又∵∠AOD=∠C=90°，
∴△AOD≌△BCD．
∴DC=OD=20（cm）．