试题

题目：
青果学院（2006·漳州）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，过点O作OD⊥AC于D，连接BC．
（1）求证：OD=
1
2
BC；
（2）若∠BAC=40°，求
ABC
的度数．
答案
（1）证明：
证法一：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB．
又∵OD⊥AC，
∴AD=CD．
∴OD=
1
2
BC．
证法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，OA=
1
2
AB．
∵OD⊥AC即∠ADO=90°，
∴∠C=∠ADO．
又∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB．
∴
OD
BC
=
OA
AB
=
1
2
．
∴OD=
1
2
BC．

（2）解：解法一：∵AB是⊙O的直径，∠A=40°，
∴∠C=90°．
∴
ABC
的度数为：2×（90°+40°）=260°．
解法二：∵AB是⊙O的直径，∠A=40°，
∴∠C=90°．
∴∠B=50°．
∴
AC
的度数为100°．
∴
ABC
的度数为260°．
（1）证明：
证法一：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB．
又∵OD⊥AC，
∴AD=CD．
∴OD=
1
2
BC．
证法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，OA=
1
2
AB．
∵OD⊥AC即∠ADO=90°，
∴∠C=∠ADO．
又∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB．
∴
OD
BC
=
OA
AB
=
1
2
．
∴OD=
1
2
BC．

（2）解：解法一：∵AB是⊙O的直径，∠A=40°，
∴∠C=90°．
∴
ABC
的度数为：2×（90°+40°）=260°．
解法二：∵AB是⊙O的直径，∠A=40°，
∴∠C=90°．
∴∠B=50°．
∴
AC
的度数为100°．
∴
ABC
的度数为260°．
考点梳理
垂径定理；三角形中位线定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）根据垂径定理得到AD=CD，再根据三角形的中位线定理进行证明；
（2）根据圆周角定理得：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的2倍，进行求解．
熟练运用垂径定理和三角形的中位线定理证明；掌握弧的度数和它所对的圆周角的度数的关系．
综合题．
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