试题

（2003·成都）已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：AC·BC=BE·CD；
（2）已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．

（1）证明：连接CE（1分）
∵BE是⊙O的直径
∴∠ECB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠ECB=∠ADC
又∵∠A=∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△ADC∽△ECB（2分）
∴

AC

EB

=

DC

CB

∴AC·BC=BE·CD；（1分）

（2）解：∵CD=6，AD=3，BD=8
∴BC=

BD2+CD2

=

82+62

=10（1分）
∴AC=

AD2+CD2

=

32+62

=3

5

（1分）
∵AC·BC=BE·CD
∴3

5

×10=BE·6
∴BE=5

5

∴⊙O的直径BE的长是5

5

．（2分）
（1）证明：连接CE（1分）
∵BE是⊙O的直径
∴∠ECB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠ECB=∠ADC
又∵∠A=∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△ADC∽△ECB（2分）
∴

AC

EB

=

DC

CB

∴AC·BC=BE·CD；（1分）

（2）解：∵CD=6，AD=3，BD=8
∴BC=

BD2+CD2

=

82+62

=10（1分）
∴AC=

AD2+CD2

=

32+62

=3

5

（1分）
∵AC·BC=BE·CD
∴3

5

×10=BE·6
∴BE=5

5

∴⊙O的直径BE的长是5

5

．（2分）