试题

（2013·桥东区二模）如图，Rt△ABC在平面直角坐标系中，BC在x轴上，B（-1，0）、A（0，2），AC⊥AB．
（1）求线段OC的长．
（2）点P从B点出发以每秒4个单位的速度沿x轴正半轴运动，点Q从A点出发沿线段AC以

5

个单位每秒速度向点C运动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设△CPQ的面积为S，两点同时运动，运动的时间为t秒，求S与t之间关系式，并写出自变量取值范围．
（3）Q点沿射线AC按原速度运动，⊙G过A、B、Q三点，是否有这样的t值使点P在⊙G上？如果有求t值，如果没有说明理由．

解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠ABO+∠ACO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ACO，∠ABO=∠OAC，
∴△AOB∽△COA，
∴

OC

AO

=

AO

OB

∵B（-1，0）、A（0，2），
∴OA=2，OB=1，
∴

OC

2

=

2

1

，
∴OC=4；

（2）①当P在BC上，Q在线段AC上时，（0＜t＜

5

4

）过点Q作QD⊥BC于D，
如图所示，则CQ=2

5

-

5

t，CP=5-4t，
由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，
所以S=

1

2

CP·QD=

1

2

（5-4t）（2-t），
即S=2t²-

13

2

t+5（0＜t＜

5

4

）；
②当P在BC延长线上，Q在线段AC上时（

5

4

＜t＜2），过点Q作QD⊥BC于D，
如图所示，则CQ=2

5

-

5

t，CP=4t-5，
由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，
所以S=

1

2

CP·QD=

1

2

（4t-5）（2-t），
即S=-2t²+

13

2

t-5（

5

4

＜t＜2），
③当t=

5

4

或t=2时C、P、Q都在同一直线上，S=0．

（3）若点P在圆G上，因为AC⊥AB，所以BQ是直径，所以∠BPQ=90°，即PQ⊥BC，
则BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，
得|4t|2+|2-t|2=(

5

)2+(

5

t)2，
解得t1=

1

2

，t2=-

1

6

（不合题意，舍去）
所以当t=

1

2

时，点P在圆G上．
（也可以在（2）的基础上分类讨论，利用相似求得）
解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠ABO+∠ACO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ACO，∠ABO=∠OAC，
∴△AOB∽△COA，
∴

OC

AO

=

AO

OB

∵B（-1，0）、A（0，2），
∴OA=2，OB=1，
∴

OC

2

=

2

1

，
∴OC=4；

（2）①当P在BC上，Q在线段AC上时，（0＜t＜

5

4

）过点Q作QD⊥BC于D，
如图所示，则CQ=2

5

-

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t，CP=5-4t，
由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，
所以S=

1

2

CP·QD=

1

2

（5-4t）（2-t），
即S=2t²-

13

2

t+5（0＜t＜

5

4

）；
②当P在BC延长线上，Q在线段AC上时（

5

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＜t＜2），过点Q作QD⊥BC于D，
如图所示，则CQ=2

5

-

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t，CP=4t-5，
由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，
所以S=

1

2

CP·QD=

1

2

（4t-5）（2-t），
即S=-2t²+

13

2

t-5（

5

4

＜t＜2），
③当t=

5

4

或t=2时C、P、Q都在同一直线上，S=0．

（3）若点P在圆G上，因为AC⊥AB，所以BQ是直径，所以∠BPQ=90°，即PQ⊥BC，
则BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，
得|4t|2+|2-t|2=(

5

)2+(

5

t)2，
解得t1=

1

2

，t2=-

1

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（不合题意，舍去）
所以当t=

1

2

时，点P在圆G上．
（也可以在（2）的基础上分类讨论，利用相似求得）