试题

（2001·哈尔滨）已知：如图，CD是△ABC外角∠MCA的平分线，CD与三角形的外接圆交于点D．
（1）若∠BCA=60°，求证：△ABD为等边三角形；
（2）设点F为弧AD上一点，且弧AF=弧BC，DF的延长线交BA的延长线于点E．求证：AC·AF=DF·FE．

证明：（1）∵CD平分∠MCA，
∴∠MCD=∠DCA．
∵∠MCD是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠MCD=∠DAB．
根据圆周角定理可知
∠BDA=∠BCA=60°，∠DCA=∠DBA，
∴∠MCD=∠DCA=∠BDA=∠DBA=∠DAB=60°．
∴△ABD是等边三角形．

（2）由（1）可知∠MCD=∠DCA=60°，
同理可得出∠EFA=∠DBA=60°，
∴∠DCB=∠DFA=180-60=120°．
∵弧BC=弧AF，
∴AF=BC，∠BDC=∠ADF．
∴△BDC≌△ADF．
∴∠EFA=∠DBA=60°，∠DCA=∠DBA=60°，
∵∠BDC=∠ADF，
∴∠BDC+∠ADB=∠ADF+∠ADB，即∠CDA=∠BDF．
∵∠EAF是圆内接三边形ABDF的外角，
∴∠EAF=∠ADF=∠CDA．
∴△ADC∽△EFA．
∴AC·AF=CD·FE．
∵CD=DF，
∴AC·AF=DF·FE．
证明：（1）∵CD平分∠MCA，
∴∠MCD=∠DCA．
∵∠MCD是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠MCD=∠DAB．
根据圆周角定理可知
∠BDA=∠BCA=60°，∠DCA=∠DBA，
∴∠MCD=∠DCA=∠BDA=∠DBA=∠DAB=60°．
∴△ABD是等边三角形．

（2）由（1）可知∠MCD=∠DCA=60°，
同理可得出∠EFA=∠DBA=60°，
∴∠DCB=∠DFA=180-60=120°．
∵弧BC=弧AF，
∴AF=BC，∠BDC=∠ADF．
∴△BDC≌△ADF．
∴∠EFA=∠DBA=60°，∠DCA=∠DBA=60°，
∵∠BDC=∠ADF，
∴∠BDC+∠ADB=∠ADF+∠ADB，即∠CDA=∠BDF．
∵∠EAF是圆内接三边形ABDF的外角，
∴∠EAF=∠ADF=∠CDA．
∴△ADC∽△EFA．
∴AC·AF=CD·FE．
∵CD=DF，
∴AC·AF=DF·FE．