试题

题目：
青果学院如图，已知BC为⊙O的直径，A点在圆周上，AB=6，AC=8，AE平分∠BAC，求AE的长为（　　）



答案
B
解：青果学院
过B作BN∥AE交CA于N，过A作AM⊥BC于M，连接OE，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=6，AC=8，由勾股定理得：BC=10，
由三角形面积公式得：AC×AB=BC×AM，
∴AM=4.8，
∵BN∥AE，
∴∠N=∠CAE，∠NBA=∠BAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠N=∠NBA，
∴AB=AN，
∵BN∥AE，
∴
AC
AN
=
CZ
BZ
，
∴
AC
AB
=
CZ
BZ
，
∴
8
6
=
CZ
10-CZ
，
CZ=
40
7
，BZ=10-
40
7
=
30
7
，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴弧CE=弧BE，
∴EO⊥BC，
∵OE=OC=
1
2
BC=5，
∴ZO=
40
7
-5=
5
7
，
由勾股定理得：EZ=
EO2+ZO2
=
25
7
2
，
在Rt△ABM中，BM=
AB2-AM2
=
18
5
，
∴MZ=
30
7
-
18
5
=
24
35
，
在Rt△AMZ中，AZ=
AM2+MZ2
=
24
7
2
，
∴AE=AZ+EZ=
25
7
2
+
24
7
2
=7
2
，
故选B．
考点梳理
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
过B作BN∥AE交CA于N，过A作AM⊥BC于M，连接OE，求出AN=AB，求出BZ和CZ，求出AM，EZ，根据勾股定理求出AZ和EZ即可．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线性质，平行线分线段成比例定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
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