试题

题目：
青果学院已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．
（1）求证：AM·MB=EM·MC；
（2）连接DE，DE=
15
，求EM的长．
答案
青果学院（1）证明：连接BE、AC．
由圆周角定理，得：∠MEB=∠MAC，∠MBE=∠MCA
∴△MEB∽△MAC
∴
AM
EM
=
MC
MB
，即AM·MB=EM·MC；

（2）解：∵M是OB的中点，
∴OM=MB=2，AM=OA+OM=6
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°
Rt△DEC中，DE=
15
，CD=8
由勾股定理，得：CE=7
∴MC=CE-EM=7-EM
由（1）知：AM·MB=EM·MC，即：
（7-EM）×EM=6×2，解得EM=4（EM＞MC）
所以EM的长为4．
青果学院（1）证明：连接BE、AC．
由圆周角定理，得：∠MEB=∠MAC，∠MBE=∠MCA
∴△MEB∽△MAC
∴
AM
EM
=
MC
MB
，即AM·MB=EM·MC；

（2）解：∵M是OB的中点，
∴OM=MB=2，AM=OA+OM=6
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°
Rt△DEC中，DE=
15
，CD=8
由勾股定理，得：CE=7
∴MC=CE-EM=7-EM
由（1）知：AM·MB=EM·MC，即：
（7-EM）×EM=6×2，解得EM=4（EM＞MC）
所以EM的长为4．
考点梳理
勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）将乘积式化为比例式，然后证对应的三角形相似即可，即连接BE、AC，证△ACM∽△EBM；
（2）M是OB的中点，由此可求出AM、BM的长；Rt△DEC中，由勾股定理易求得EC的长，进而可用EM表示出MC，再将这些数据代入（1）的乘积式中，即可求出EM的长．
此题主要考查的是圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定和性质．
综合题；数形结合．
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