试题

题目：
青果学院如图，在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①B、E、D、C四点共圆；②AD·AC=AE·AB；③△DEF是等边三角形；④当∠ABC=45°时，BE=
2
DE中，一定正确的有（　　）



答案
A
解：∵BD、CE为高，F为BC的中点，
∴EF=DF=BF=FC，
∴B、E、D、C四点共圆，故①小题正确；
∴AD·AC=AE·AB（割线定理），故②小题正确；
∵∠BAC=60°，BD为高，
∴∠ABD=30°，
∴∠EFD=2∠ABD=60°，
∴△EFD是等边三角形，故③小题正确；
当∠ABC=45°时，∵CE为高，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=
2
2
BC，
又∵DE=EF=
1
2
BC，
∴BE=
2
DE，故④小题正确；
综上所述，正确的有①②③④共4个．
故选A．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=DF=BF=FC，从而可得B、E、D、C四点共圆；再根据割线定理即可证明AD·AC=AE·AB；先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD=30°，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠EFD=60°，从而得到△DEF是等边三角形；先判定△BCE是等腰直角三角形，然后求出BE=
2
2
BC，再根据等边三角形的三边相等整理即可得到BE=
2
DE．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆周角定理，难度不大，求出EF=DF=BF=FC是解题的关键，也是求解本题的突破口．
几何综合题；压轴题．
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