试题

如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB=4-2

2

，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=

2

AM；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

D
解：①正确，证明如下：
∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，
∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，
∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；

②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；
由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故②正确；

③由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则∠BAH=∠BDH；
又∵∠ABD=∠DBG=45°，
∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：

2

，即DG=

2

AM；
故③正确；

④过H作HN⊥CD于N，连接EG；
若BH平分∠DBG，且BH⊥DG，已知：BH垂直平分DG；
得DE=EG，H是DG中点，HN为△DCG的中位线；
设CG=x，则：HN=

1

2

x，EG=DE=

2

x，DC=BC=（

2

+1）x；
∵HN⊥CD，BC⊥CD，∴HN∥BC，
∴∠NHB=∠EBC，∠ENH=∠ECB，
∴△BEC∽△HEN，则BE：EH=BC：HN=2

2

+2，即EH=

BE

2 2 +2

；
∴HE·BH=BH·

BE

2 2 +2

=4-2

2

，即BE·BH=4

2

；
∵∠DBH=∠CBE，且∠BHD=∠BCE=90°，
∴△DBH∽△EBC，得：DB·BC=BE·BH=4

2

，
即

2

BC²=4

2

，得：BC²=4，即正方形ABCD的面积为4；
故④正确；
因此四个结论都正确，故选D．