试题

题目：
青果学院如图，设点D、E分别为△ABC的外接圆的弧AB、弧AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G．求证：AF·AG=DF·EG．
答案
证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠E，（等弧所对的圆周角相等）
∠CAE=∠D，
∴△ADF∽△EAG
（两对应角相等，两三角形相似）
∴
AF
EG
=
DF
AG
，
∴AF·AG=DF·EG．
（说明：不填写理由共扣（1分）．）
证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠E，（等弧所对的圆周角相等）
∠CAE=∠D，
∴△ADF∽△EAG
（两对应角相等，两三角形相似）
∴
AF
EG
=
DF
AG
，
∴AF·AG=DF·EG．
（说明：不填写理由共扣（1分）．）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
根据相似三角形的判定定理AA证得△ADF∽△EAG，然后由相似三角形的对应边成比例求得
AF
EG
=
DF
AG
，即AF·AG=DF·EG．
本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．在证明△ADF∽△EAG时，利用等弧所对的弦相等证明AD=BD，AE=CE是关键．
证明题．
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