试题

题目：
青果学院如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧
AC
中点，BD交AC于点E．
（1）求证：AD2=DE·DB；
（2）若BC=13，CD=5，求DE的长．
答案
（1）证明：由D是劣弧
AC
的中点，得
AD
=
DC
·∠ABD=∠DAC，
又∵∠ADB=∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴
AD
DE
=
DB
AD
，
∴AD2=DE·DB；

（2）解：由D是劣弧
AC
的中点，得AD=DC，则DC2=DE·DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形．
∴BD=
BC2-CD2
=
(13)2-(5)2
=12；
由DA2=DE·DB得，（5）2=12DE，
解得DE=
25
12
．
（1）证明：由D是劣弧
AC
的中点，得
AD
=
DC
·∠ABD=∠DAC，
又∵∠ADB=∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴
AD
DE
=
DB
AD
，
∴AD2=DE·DB；

（2）解：由D是劣弧
AC
的中点，得AD=DC，则DC2=DE·DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形．
∴BD=
BC2-CD2
=
(13)2-(5)2
=12；
由DA2=DE·DB得，（5）2=12DE，
解得DE=
25
12
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
（1）欲证AD2=DE·DB，D是劣弧
AC
的中点，有∠DAC=∠ABD，又∠ADB公共，证明△ABD∽△AED得出相似比；
（2）欲求DE的长，由AD2=DE·DB知，需求出AD、DB的长，（CB是直径，则△BCD是直角三角形，勾股定理求出BD的长，AD=CD）．
本题考查了直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．解题时，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．
证明题．
找相似题