试题

题目：
青果学院如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与点C重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求正方形ABCD的边长．
答案
青果学院解：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P=
1
2
∠BOC=45°；

（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE=
OB2
2
=
42
2
=2
2
，
∴BC=2BE=4
2
，即正方形ABCD的边长是4
2
．
青果学院解：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P=
1
2
∠BOC=45°；

（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE=
OB2
2
=
42
2
=2
2
，
∴BC=2BE=4
2
，即正方形ABCD的边长是4
2
．
考点梳理
圆周角定理；正方形的性质．
（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，根据∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
探究型．
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