试题

如图，在正三角形GHT上截得一个每一个内角都相等、周长为20的六边形ABCDEF，又AF=4，EF=3，
（1）填空：连结AE，则AE的长为；
（2）已知设AB=x，六边形ABCDEF的面积为y，则y的最大值为．

解：（1）∵六边形ABCDEF的每一个内角都相等，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠BAH=∠ABH=∠DCT=∠CDT=∠FEG=∠EFG=60°，
∴△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形．
过点E作EM⊥FG于M，则FM=

1

2

FG=

1

2

EF=

3

2

，
∴EM=

3

FM=

3

2

3

．
△AEM中，∵∠AME=90°，AM=AF+FM=4+

3

2

=

11

2

，EM=

3

2

3

，
∴AE=

AM2+EM2

=

( 11 2 )2+( 3 3 2 )2

=

37

；

（2）∵三角形GHT为等边三角形，
∴GH=HT=TG，
∵△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形，
∴3+4+x=x+a+b=b+c+3，
∴a+b=7，4+x=b+c，
∵六边形ABCDEF的周长为20，
∴a+b+c+x=13，7+c+x=13，
∴c+x=6，c=6-x，
∴b+6-x=4+x，b=2x-2．
∴y=S_△GHT-S_△ABH-S_△CDT-S_△GFE
=

3

4

（x+7）²-

3

4

x²-

3

4

（2x-2）²-

3

4

×3²
=-

3

x²+

11 3

2

x+9

3

=-

3

（x-

11

4

）²+

265 3

16

，
∴当x=

11

4

时，y有最大值

265 3

16

．
故答案为

37

；

265 3

16

．