试题

题目：
设A0，A1，…，An-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是
23
23
，此时正n边形的面积是
1
1
．
答案
23

1

解：用找规律找出P与n的关系式
不难发现，P与n有下表所列的关系
n 3 4 5 6
P 1
（0+1）=（3-3）×3÷2+1 		3
（2+1）=（4-3）×4÷2+1 		6
（5+1）=（5-3）×5÷2+1 		10
（6+3+1）=（6-3）×6÷2+1
因此，P=（n-3）·n÷2+1，即P=
1
2
n2-
3
2
n+1．
P=
1
2
n2-
3
2
n+1可以化为P=
1
2
（n-
3
2
）2+
1
8
，
由于n≥3，故P值越大，n取值越大．
在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，
故其面积取最小值1时，P值最大
代入各值，得：231÷1=
1
2
n2-
3
2
n+1，
整理得：n2-3n-460=0
解得n=23或n=-20（不合题意，舍去）
故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1．
故答案为：23，1．
考点梳理
正多边形和圆．
先通过找规律找出P与n的关系式P=
1
2
n2-
3
2
n+1，再化为P=
1
2
（n-
3
2
）2+
1
8
，由于n≥3，故P值越大，n取值越大． 在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大，从而得出关于n的方程求解即可．
本题考查了正多边形和圆以及面积及等积变换．解题的关键是得出P与n的关系式，确定面积取最小值1时，P值最大．
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