试题
题目:
设A
0
,A
1
,…,A
n-1
依次是面积为整数的正n边形的n个顶点,考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形的面积之和是231,那么n的最大值是
23
23
,此时正n边形的面积是
1
1
.
答案
23
1
解:用找规律找出P与n的关系式
不难发现,P与n有下表所列的关系
n
3
4
5
6
P
1
(0+1)=(3-3)×3÷2+1
3
(2+1)=(4-3)×4÷2+1
6
(5+1)=(5-3)×5÷2+1
10
(6+3+1)=(6-3)×6÷2+1
因此,P=(n-3)·n÷2+1,即P=
1
2
n
2
-
3
2
n+1.
P=
1
2
n
2
-
3
2
n+1可以化为P=
1
2
(n-
3
2
)
2
+
1
8
,
由于n≥3,故P值越大,n取值越大.
在凸多边形面积之和为231时,由于正n边形的面积为整数,
故其面积取最小值1时,P值最大
代入各值,得:231÷1=
1
2
n
2
-
3
2
n+1,
整理得:n
2
-3n-460=0
解得n=23或n=-20(不合题意,舍去)
故n=23为最大值,此时正23边形的面积为1.
故答案为:23,1.
考点梳理
考点
分析
点评
正多边形和圆.
先通过找规律找出P与n的关系式P=
1
2
n
2
-
3
2
n+1,再化为P=
1
2
(n-
3
2
)
2
+
1
8
,由于n≥3,故P值越大,n取值越大. 在凸多边形面积之和为231时,由于正n边形的面积为整数,故其面积取最小值1时,P值最大,从而得出关于n的方程求解即可.
本题考查了正多边形和圆以及面积及等积变换.解题的关键是得出P与n的关系式,确定面积取最小值1时,P值最大.
找相似题
(2013·自贡)如图,点O是正六边形的对称中心,如果用一副三角板的角,借助点O(使该角的顶点落在点O处),把这个正六边形的面积n等分,那么n的所有可能取值的个数是( )
某校科艺节汇报演出活动中,5个舞蹈演员,每人手执一把大小形状都相同扇子,扇子完全展开后的半径OA为24cm,三把扇子完全展开刚好组成了图2所示的一朵圆形的花,然后又一变化,五把扇子组成了图3所示的五角星的形状,求图3所示五角星中∠α的角度.
如图1,请求圆内接正五边形的中心角∠AOB=
72
72
°,及∠ACB=
36
36
°,如图2,请求圆内接正六边形的中心角∠AOB=
60
60
°,及∠ACB=
30
30
°
探究:正n边形每条边所对的中心角∠AOB=
360
n
360
n
°,及∠ACB=
180
n
180
n
°(用n表示)
如图一,有一个圆O和两个正六边形T
1
,T
2
.T
1
的六个顶点都在圆周上,T
2
的六条边都和圆O相切(我们称T
1
,T
2
分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).
(1)请你在备用图中画出圆O的内接正六边形,并简要写出作法;
(2)设圆O的半径为R,求T
1
,T
2
的边长(用含R的式子表示);
(3)设圆O的半径为R,求图二中阴影部分的面积(用含R的式子表示)
如图所示,点A坐标为(0,3),⊙A半径为1,点B在x轴上.
(1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系;
(2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标.