试题

（2007·临汾）阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S_正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．

（1）如图1，当n=3时，设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=

1

2

∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=

1

2

·

360°

3

=60°，OC=r，
∴AC=r·tan60°，∴AB=2r·tan60°，
∴S_△OAB=

1

2

·r·2r·tan60°=r²tan60°，
∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²·tan60度．
（2）如图2，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S_正四边形=4S_△OAB=；
（3）如图3，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S_正五边形；
（4）如图4，根据以上探索过程，请直接写出S_正n边形=．

解：（2）4r²tan45°．（2分）

（3）如图，当n=5时，设AB切⊙O于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，∵OA=OB，
∵∠AOC=

1

2

·

360°

5

=36°，OC=r，（3分）
∴AC=r·tan36°，∴AB=2r·tan36°，（4分）
∴S_△OAB=

1

2

·r·2r·tan36°=r²tan36°，（4分）
∴S_正五边形=5S_△OAB=5r²·tan36°．（6分）

（4）nr²tan

180°

n

．（8分）