试题
题目:
(2009·杭州)如图,有一个圆O和两个正六边形T
1
,T
2
. T
1
的6个顶点都在圆周上,T
2
的6条边都和圆O相切(我们称T
1
,T
2
分
别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).
(1)设T
1
,T
2
的边长分别为a,b,圆O的半径为r,求r:a及r:b的值;
(2)求正六边形T
1
,T
2
的面积比S
1
:S
2
的值.
答案
解:(1)连接圆心O和T
1
的6个顶点可得6个全等的正三角形.
所以r:a=1:1;
连接圆心O和T
2
相邻的两个顶点,得以圆O半径为高的正三角形,
所以r:b=AO:BO=sin60°=
3
:2;
(2)T
1
:T
2
的边长比是
3
:2,所以S
1
:S
2
=(a:b)
2
=3:4.
解:(1)连接圆心O和T
1
的6个顶点可得6个全等的正三角形.
所以r:a=1:1;
连接圆心O和T
2
相邻的两个顶点,得以圆O半径为高的正三角形,
所以r:b=AO:BO=sin60°=
3
:2;
(2)T
1
:T
2
的边长比是
3
:2,所以S
1
:S
2
=(a:b)
2
=3:4.
考点梳理
考点
分析
点评
正多边形和圆.
(1)根据圆内接正六边形的半径等于它的边长,则r:a=1:1;在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中,根据锐角三角函数即可求得其比值;
(2)根据相似多边形的面积比是相似比的平方.由(1)可以求得其相似比,再进一步求得其面积比.
计算正多边形中的有关量的时候,可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中,根据锐角三角函数进行计算.注意:相似多边形的面积比即是其相似比的平方.
找相似题
(2013·自贡)如图,点O是正六边形的对称中心,如果用一副三角板的角,借助点O(使该角的顶点落在点O处),把这个正六边形的面积n等分,那么n的所有可能取值的个数是( )
某校科艺节汇报演出活动中,5个舞蹈演员,每人手执一把大小形状都相同扇子,扇子完全展开后的半径OA为24cm,三把扇子完全展开刚好组成了图2所示的一朵圆形的花,然后又一变化,五把扇子组成了图3所示的五角星的形状,求图3所示五角星中∠α的角度.
如图1,请求圆内接正五边形的中心角∠AOB=
72
72
°,及∠ACB=
36
36
°,如图2,请求圆内接正六边形的中心角∠AOB=
60
60
°,及∠ACB=
30
30
°
探究:正n边形每条边所对的中心角∠AOB=
360
n
360
n
°,及∠ACB=
180
n
180
n
°(用n表示)
如图一,有一个圆O和两个正六边形T
1
,T
2
.T
1
的六个顶点都在圆周上,T
2
的六条边都和圆O相切(我们称T
1
,T
2
分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).
(1)请你在备用图中画出圆O的内接正六边形,并简要写出作法;
(2)设圆O的半径为R,求T
1
,T
2
的边长(用含R的式子表示);
(3)设圆O的半径为R,求图二中阴影部分的面积(用含R的式子表示)
如图所示,点A坐标为(0,3),⊙A半径为1,点B在x轴上.
(1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系;
(2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标.