如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：-青果题库-青果学院

题目：

（2013·齐齐哈尔）如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．
若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360=kα（k为正整数），多边形外角和为360°，则k关于边数n的函数是

k=

2n

n-2

（n=3，4，6）或k=2+

4

n-2

（n=3，4，6）

k=

2n

n-2

（n=3，4，6）或k=2+

4

n-2

（n=3，4，6）

（写出n的取值范围）

答案

k=

2n

n-2

（n=3，4，6）或k=2+

4

n-2

（n=3，4，6）

解：∵n边形的内角和为（n-2）·180°，
∴正n边形的每个内角度数α=

(n-2)·180

n

，
∵360=kα，
∴k·

(n-2)·180

n

=360，
∴k=

2n

n-2

．
∵k=

2n

n-2

=

2(n-2)+4

n-2

=2+

4

n-2

，k为正整数，
∴n-2=1，2，±4，
∴n=3，4，6，-2，
又∵n≥3，
∴n=3，4，6．
即k=

2n

n-2

（n=3，4，6）．
故答案为k=

2n

n-2

（n=3，4，6）．

考点梳理

正多边形和圆；多边形内角与外角．

试题