题目:

对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径,那么称图形A被这个圆所覆盖.例如,图中的三角形被一个圆所覆盖.回答问题:
(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是多少?
(2)边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是多少?
(3)半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖,a的最小值是多少?
(4)半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖,a的最小值是多少?
答案

解:(1)如图(1)所示,
连接OB、OC,则∠BOC=
=90°,
∵OB=OC=r,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∴OB
2+OC
2=BC
2,即r
2+r
2=1
2,
∴r=
;
(2)如图(2)所示,连接OA、OB,过O作OD⊥AB,则AD=
AB=
,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°,
∵OD⊥AB,
∴∠AOD=60°,∠OAC=30°,
∴OA=r=
=
=
;
(3)如图(3)所示,连接OA、OE,则OE=r,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠OAE=∠AOE=45°,
∴OE=AE=1,
∴AB=2;

(4)如图(4),连接OB,OD,
∵O是切点,
∴OD⊥BC,OD=1,BD=
,
∵O是△ABC的内心,
∴∠OBD=30°,
∴OD=BD·tan∠OBD=
·
=1,
∴a=2
.
故答案为:
,
,2,2
.

解:(1)如图(1)所示,
连接OB、OC,则∠BOC=
=90°,
∵OB=OC=r,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∴OB
2+OC
2=BC
2,即r
2+r
2=1
2,
∴r=
;
(2)如图(2)所示,连接OA、OB,过O作OD⊥AB,则AD=
AB=
,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°,
∵OD⊥AB,
∴∠AOD=60°,∠OAC=30°,
∴OA=r=
=
=
;
(3)如图(3)所示,连接OA、OE,则OE=r,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠OAE=∠AOE=45°,
∴OE=AE=1,
∴AB=2;

(4)如图(4),连接OB,OD,
∵O是切点,
∴OD⊥BC,OD=1,BD=
,
∵O是△ABC的内心,
∴∠OBD=30°,
∴OD=BD·tan∠OBD=
·
=1,
∴a=2
.
故答案为:
,
,2,2
.