试题

如图1，在同一平面内，四条线AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，AD、BC相交于点O，AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∠B=α，∠D=β．
（1）如图2，AM、CN相交于点P．
①当α=β时，判断∠APC与α的大小关系，并说明理由．
②当α＞β时，请直接写出∠APC与α，β的数量关系．
（2）是否存在AM∥CN的情况？若存在，请判断并说明α，β的数量关系；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图2，
①当α=β时，∠APC=α．理由如下：
在△ANP和△CND中，∠2+∠D=∠4+∠APC，
在△AOB和△COD中，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，
∵∠D=∠B=α，
∴∠OCD=∠OAB，
∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠OCD=2∠2，∠OAB=2∠4，
∴∠2=∠4，
∴∠APC=∠D=α；
②当α＞β时，∠APC=

1

2

（α+β）；

（2）不存在．理由如下：
如图1，若AM∥CN，则∠4=∠5，
∵∠5=∠2+∠D，
∴∠4=∠2+β，
同理得∠3=∠1+∠B，即∠3=∠1+α，
∴∠3+∠4=∠1+∠2+α+β，
∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∴α+β=0，
∴不存在AM∥CN．
解：（1）如图2，
①当α=β时，∠APC=α．理由如下：
在△ANP和△CND中，∠2+∠D=∠4+∠APC，
在△AOB和△COD中，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，
∵∠D=∠B=α，
∴∠OCD=∠OAB，
∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠OCD=2∠2，∠OAB=2∠4，
∴∠2=∠4，
∴∠APC=∠D=α；
②当α＞β时，∠APC=

1

2

（α+β）；

（2）不存在．理由如下：
如图1，若AM∥CN，则∠4=∠5，
∵∠5=∠2+∠D，
∴∠4=∠2+β，
同理得∠3=∠1+∠B，即∠3=∠1+α，
∴∠3+∠4=∠1+∠2+α+β，
∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∴α+β=0，
∴不存在AM∥CN．