试题

题目：
青果学院在如图△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，若∠ABD5与∠ACD5的角平分线交D6，则∠BD6C的度数
54°
54°
．
答案
54°

解：∵∠A=52°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，青果学院
∴∠ABD1=∠CBD1=
1
2
∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=
1
2
∠ACB，
∴∠CBD1+∠BCD1=
1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
×128°=64°，
∴∠BD1C=180°-
1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°，
∵∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，
∴∠D2BC=
3
4
∠ABC，∠D2CB=
3
4
∠ACB，
∴∠D2BC+∠D2CB=
3
4
（∠ACB+∠ABC），
∴∠BD2C=180°-
3
4
（∠ABC+∠ACB）=180°-
3
4
（180°-∠A）=180°-96°=84°，
依此类推，∠BD6C=180°-
63
64
（∠ABC+∠ACB）=180°-
63
64
（180°-∠A）=180°-126°=54°．
故答案为：54°．
考点梳理
三角形内角和定理．
根据角平分线的性质可得到：∠ABD1=∠CBD1=
1
2
∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=
1
2
∠ACB，再根据三角形的内角和定理可得：∠BD1C的度数，再根据∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，可得∠D2BC=
3
4
∠ABC，∠D2CB=
3
4
∠ACB，进而求出∠BD2C=180°-
3
4
（∠ABC+∠ACB），以此类推可得到：∠BD6C=180°-
63
64
（∠ABC+∠ACB），再次利用三角形内角和代入∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求出答案．
此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，关键是根据三角形的角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB与∠A的关系，并能找出∠BDnC与∠A的关系规律．
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