试题

在平面直角坐标系中，过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（3，6）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）（a＞0）在双曲线y=

k

x

（k为常数）上，求a，k的值．

解：（1）∵点M（3，6），
∴矩形OAPB的周长=2（3+6）=18，
面积=3×6=18，
∵18=18，
∴则点P是和谐点；

（2）∵点P（a，3），
∴矩形OAPB的周长=2（a+3），
面积=3a，
∵点P是和谐点．
∴2（a+3）=3a，
解得a=6，
所以，点P（6，3），
∵点P在双曲线y=

k

x

上，
∴

k

6

=3，
解得k=18．
解：（1）∵点M（3，6），
∴矩形OAPB的周长=2（3+6）=18，
面积=3×6=18，
∵18=18，
∴则点P是和谐点；

（2）∵点P（a，3），
∴矩形OAPB的周长=2（a+3），
面积=3a，
∵点P是和谐点．
∴2（a+3）=3a，
解得a=6，
所以，点P（6，3），
∵点P在双曲线y=

k

x

上，
∴

k

6

=3，
解得k=18．