试题

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，AD=6cm，∠A=60°．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向终点D运动（P，Q两点中，有一点运动到了终点，所有运动即终止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
①当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
②试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）作梯形的高DE、CF，根据题意得，
∴AE=BF=3，DE=CF=3

3

，CD=EF=2，
∴梯形的面积S=

1

2

(AB+CD)×DE=15

3

；

（2）①若PQ分成两个直角梯形，那么PQ为梯形的高；
设CQ=t，AP=2t，DE为梯形的高，
∴AE=AP-PE=2t-（2-t）=3t-2，
在Rt△ADP中，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴2AE=6，
即，2（3t-2）=6，
解得：t=

5

3

；
（[另解]：62=(3

3

)2+(2t-2+t)2，得：t=

5

3

）
②若Q在CD上运动，此时，t≤2；
设t秒后四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，
∴2×

1

2

(t+8-2t)×3

3

=15

3

，
解得，t=3，
这与t≤2矛盾，不合题意，舍去；
所以，不存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．
解：（1）作梯形的高DE、CF，根据题意得，
∴AE=BF=3，DE=CF=3

3

，CD=EF=2，
∴梯形的面积S=

1

2

(AB+CD)×DE=15

3

；

（2）①若PQ分成两个直角梯形，那么PQ为梯形的高；
设CQ=t，AP=2t，DE为梯形的高，
∴AE=AP-PE=2t-（2-t）=3t-2，
在Rt△ADP中，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴2AE=6，
即，2（3t-2）=6，
解得：t=

5

3

；
（[另解]：62=(3

3

)2+(2t-2+t)2，得：t=

5

3

）
②若Q在CD上运动，此时，t≤2；
设t秒后四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，
∴2×

1

2

(t+8-2t)×3

3

=15

3

，
解得，t=3，
这与t≤2矛盾，不合题意，舍去；
所以，不存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．