试题

题目：
（2012·庆阳）已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为（　　）青果学院



答案
A
解：∵梯形ABCD是等腰梯形，CD∥AB，
由SAS可证△DAB≌△CBA，
∴∠CAB=∠DCA=30°，
∵∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴CD=AD=BC=4cm，
∴AC2=AB2-BC2，
∴AC=4
3
cm，
∵梯形ABCD是等腰梯形，青果学院
∴AC=BD=4
3
cm，
∴S△ABC=
1
2
×4×4
3
=8
3
cm2，
设DO为x，则CO=x，则AO=BO=（4
3
-x）cm，
在Rt△COB中，CO2+BC2=BO2，
即：x2+42=（4
3
-x）2
∴D0=
4
3
3
cm，
∴S△ADO=
1
2
×
4
3
3
×4=
8
3
3
，
∴S△AOB=S△ABC-S△ADO=
16
3
3

∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴（
DC
AB
）2=
S△DOC 
S△AOB

∴S△DOC=
4
3
3
，
故选A．
考点梳理
等腰梯形的性质．
由已知∠ABD=30°，可得∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得BC，AC，的长；进而求出三角形ACB的面积，再求出三角形COB的面积，所以求出三角形AOB的面积，又因为AB∥CD所以△AOB∽△DOC，利用相似的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出△COD的面积．
此题主要考查等腰梯形的性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形两条对角线相等．
压轴题．
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