试题

在平面直角坐标系中，已知等腰梯形ABCD的三个顶点A（-2，0），B（6，0），C（4，6），对角线AC与BD相交于点E．
（1）求E的坐标；
（2）若M是x轴上一动点，求MC+MD的最小值；
（3）在y轴正半轴上求点P，使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形．

解：（1）作EF⊥AB，
∴

BF

OB

=

EF

OD

，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AE=BE，
∴在等腰三角形ABE中，AF=BF，
∵A（-2，0），B（6，0），C（4，6），
∴点D的坐标为（0，6），
∴OD=6，FB=4，OF=2，
∴

4

6

=

EF

6

，
∴EF=4，
∴点E的坐标为（2，4）；

（2）由题意可得，
点D关于x轴的对称点D′的坐标为（0，-6），
CD′与x轴的交点为M，
∴此时，MC+MD=CD′为最小值，
∴CD′=

(4)2+(6+6)2

=4

10

；

（3）设点P（0，y），y＞0，
分三种情况，①PC=BC；
∴4²+（6-y）²=2²+6²，
解得，y=6±2

6

；
②PB=BC；
∴6²+y²=2²+6²，
解得，y=2，y=-2（舍去）；
③PB=PC；
∴6²+y²=4²+（6-y）²，
解得，y=

4

3

；
综上，点P的坐标为：（0，6+2

6

），（0，6-2

6

），（0，2），（0，

4

3

）．
解：（1）作EF⊥AB，
∴

BF

OB

=

EF

OD

，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AE=BE，
∴在等腰三角形ABE中，AF=BF，
∵A（-2，0），B（6，0），C（4，6），
∴点D的坐标为（0，6），
∴OD=6，FB=4，OF=2，
∴

4

6

=

EF

6

，
∴EF=4，
∴点E的坐标为（2，4）；

（2）由题意可得，
点D关于x轴的对称点D′的坐标为（0，-6），
CD′与x轴的交点为M，
∴此时，MC+MD=CD′为最小值，
∴CD′=

(4)2+(6+6)2

=4

10

；

（3）设点P（0，y），y＞0，
分三种情况，①PC=BC；
∴4²+（6-y）²=2²+6²，
解得，y=6±2

6

；
②PB=BC；
∴6²+y²=2²+6²，
解得，y=2，y=-2（舍去）；
③PB=PC；
∴6²+y²=4²+（6-y）²，
解得，y=

4

3

；
综上，点P的坐标为：（0，6+2

6

），（0，6-2

6

），（0，2），（0，

4

3

）．