数学
(2012·闸北区一模)已知:如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,与AC交于点E,AD
2
=BD·ED.
(1)求证:△ADE∽△BDA
(2)如果BA=10,BC=12,BD=15,求BE的长.
(2012·西岗区模拟)已知点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点,C是直线n上一点,且∠ABC=90°,点E在AC的延长线上,BC=kAB (k≠0).
(1)当k=1时,在图(1)中,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.写出线段EF与EB的数量关系,并加以证明;
(2)若k≠1,如图(2),∠BEF=∠ABC,其它条件不变,探究线段EF与EB的数量关系,并说明理由.
(2012·五通桥区模拟)甲题:已知关于x的一元二次方程x
2
=2(1-m)x-m
2
的两实数根为x
1
,x
2
.
(1)求m的取值范围;
(2)设y=x
1
+x
2
,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值.
乙题:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E是边AD的中点,连接BE交AC于点F,BE的延长线交CD的延长线于点G.
(1)求证:
GE
GB
=
AE
BC
;
(2)若GE=2,BF=3,求线段EF的长.
(2008·广安)如图,AB为⊙O的直径,OE交弦AC于点P,交
AM
于点M,且
AM
=
CM
.
(1)求证:OP=
1
2
BC;
(2)如果AE
2
=EP·EO,且AE=
6
5
,BC=6,求⊙O的半径.
(2008·郴州)如图,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线相交于点G,连接DE,DF.
(1)求证:△BEF∽△CEG;
(2)当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由;
(3)设BE=x,△DEF的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x
为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(2008·安顺)如图所示,四边形ABCD是以O为圆心,AB为直径的半圆的内接四边形,对角线AC、BD相交于
点E.
(1)求证:△DEC∽△AEB;
(2)当∠AED=60°时,求△DEC与△AEB的面积比.
(2008·安徽)如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于
点P、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);
(2)求BP:PQ:QR.
(2007·淄博)已知:如图,在△ABC中,D为AB边上一点,∠A=36°,AC=BC,AC
2
=AB·AD.
(1)试说明:△ADC和△BDC都是等腰三角形;(2)若AB=1,求AC的值;
(3)试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形.(标明各角的度数)
(2007·襄阳)如图①,△ABC内接于⊙O,点P是△ABC的内切圆的圆心,AP交边BC
于点D,交⊙O于点E,经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G.
(1)求证:BC∥FG;
(2)探究:PE与DE和AE之间的关系;
(3)当图①中的FE=AB时,如图②,若FB=3,CG=2,求AG的长.
(2007·乌兰察布)如图所示,菱形ABCD的边长为6cm,∠DAB=60°,点M是边AD上一点,DM=2cm,点E、F分别从A、C同时出发,以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动,EM、CD的延长线相交于G,GF交AD于O.设运动时间为x(s),△CGF的面积为y(cm
2
).
(1)当x为何值时,GD的长度是2cm?
(2)求y与x之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为1:5?若存在,求出此时x的值;若不存在,说明理由.
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