数学
已知:如图,PA为⊙O的切线,A为切点,割线PBC过圆心O,PA=4,PB=2.
(1)求BC、AB的长;
(2)若∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D、E.求AE的长.
已知如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=3
3
,以BC边上点O为圆心,以OB为半径的圆分别
交边AB、BC于点M、N.连接MN.
(1)请你探究:四条线段AB、BM、BC、BN之间的关系,并证明你的结论;
(2)若M是AB边的中点,请你判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)设⊙O的半径为r,若改变点O在BC上的位置,试探究当半径r满足什么条件时,⊙O与边AC只有一个公共点.(直接写出答案)
已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD∥AC,交⊙I于点D.
证明:PD是⊙I的切线.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E,设⊙O是△BDE
的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若DE=2,BD=4,求AE的长.
如图,已知⊙O
1
与⊙O
2
相交于A、B两点,过A作⊙O
1
的切线交⊙O
2
于E,连接EB并延长交⊙O
1
于C,直线CA交⊙O
2
于点D.
(1)当A、D不重合时,求证:AE=DE
(2)当D与A重合时,且BC=2,CE=8,求⊙O
1
的直径.
如图1:等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到.但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系,上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的.于是我们得到一个结论:如果两个正三角形存在着公共顶点,则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的.
①利用上述结论解决问题:如图2,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积;
②图3中,△ABC∽△ADE,AB=AC,∠BAC=∠DAE=θ,仿照上述结论,推广出符合图3的结论.(写出结论即可)
如图,M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点,BP与MN、AN分别交于E、F.
(1)求证:BF=2FP;
(2)设△ABC的面积为S,求△NEF的面积.
如图,AB是半圆的直径,AC⊥AB,AC=AB,在半圆上任取一点D,过点D作DE⊥CD,交直径AB于点E,BF⊥AB,交线段AD的延长线于点F,问图中除了AB=AC外,是否还有其他两条线段相等?如果有,指出这两条相等的线段,并给出证明;如果没有,也要说明理由.
如图,已知等腰Rt△AOB,其中∠AOB=90°,OA=OB=2,E、F为斜边AB上的两个动点(E比F更靠
近A),满足∠EOF=45°,
(1)求证:△AOF∽△BEO;
(2)求AF·BE的值;
(3)作EM⊥OA于M,FN⊥OB于N,求OM·ON的值;
(4)求线段EF长的最小值.(提示:必要时可以参考以下公式:当x>0,y>0时,
x+y=(
x
-
y
)
2
+2
xy
或
x+
1
x
=(
x
-
1
x
)
2
+2
)
证明:只存在唯一一个三角形,它的三边长为三个连续的正整数,并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍.
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