数学

二次函数y=2x²-x+1的最小值为

（2011·宁德）直线y=x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动（与B、O点不重合），过E作EF∥AB，交x轴于F．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为t秒．
（1）①直线y=x-6与坐标轴交点坐标是A（

）；
②画出t=2时，四边形ABEF沿EF折叠后的图形（不写画法）；
（2）若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求t为何值时，四边形DHEF为菱形（计算结果不需化简）；
（3）设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数

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表达式，并求出S的最大值．

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（2010·钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为

；用含t的式子表示点P的坐标为

；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的

？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

（2010·大庆）已知：如图①，正方形ABCD与矩形DEFG的边AD、DE在同一直线l上，点G在CD上．正方形ABCD的边长为a，矩形DEFG的长DE为b，宽DG为3（其中a＞b＞3）．若矩形DEFG沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动（点D、E始终在直线l上）．若矩形DEFG在运动过程中与正方形ABCD的重叠部分的面积记作S，运动时间记为t秒（0≤t≤m），其中S与t的函数图象如图②所示．矩形DEFG的顶点经运动后的对应点分别记作D′、E′、F′、G′．
（1）根据题目所提供的信息，可求得b=

；
（2）连接AG′、CF′，设以AG′和CF′为边的两个正方形的面积之和为y，求当0≤t≤5时，y与时间t之间的函数关系式，并求出y的最小值以及y取最小值时t的值；
（3）如图③，这是在矩形DEFG运动过程中，直线AG′第一次与直线CF′垂直的情形，求此时t的值．并探究：在矩形DEFG继续运动的过程中，直线AG′与直线CF′是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，请画出图形，并求出t的值；否则，请说明理由．

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（2003·黄石）二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．

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（1997·陕西）如图所示的抛物线是把y=-x²经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A，顶点为P；
①当∠OPA=90°时，求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式；
②求如图所示的抛物线对应的二次函数在-

时的最大值和最小值．

（2013·新余模拟）已知抛物线y=x²-2mx+3m²+2m．
（1）若抛物线经过原点，求m的值及顶点坐标，并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线上；
（2）是否无论m取任何实数值，抛物线顶点一定不在第四象限？说明理由；当实数m变化时，列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式，并求出该函数的最小函数值．

（2013·武侯区一模）某市政府为改善基础设施，2011年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，三年累计投入13.5亿元资金用于基础设施建设．
（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率x（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x₁，x₂，问m为何值时，函数y=mx₁²-6m²x₁x₂+mx₂²-12取到最小值．

（2012·西湖区一模）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数 y=(a-

（其中2a≠b），
（1）当b=2a+8c时，求二次函数的对称轴；
（2）当x=1时，二次函数最小值为-

b，试判断△ABC的形状，并说明理由．

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（2012·和平区模拟）如图，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形
MFGN，使MF=2MN．设MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

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