试题

（2003·黄石）二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．

解：设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程x²+bx+c=0的两个根，
∵y=x²+bx+c过点C（0，3），
∴c=3，
又∵S_△ABC=

1

2

|AB|·|OC|=

1

2

|AB|·3=9，
∴|AB|=6，
∴|m-n|=6，
即（m+n）²-4mn=36，
而

m+n=-b m·n=c=3

，
∴b²-12=36，b=±4

3

，
∴y=x²±4

3

x+3=（x±2

3

）²-9，
∴所求的最小值为-9．
解：设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程x²+bx+c=0的两个根，
∵y=x²+bx+c过点C（0，3），
∴c=3，
又∵S_△ABC=

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2

|AB|·|OC|=

1

2

|AB|·3=9，
∴|AB|=6，
∴|m-n|=6，
即（m+n）²-4mn=36，
而

m+n=-b m·n=c=3

，
∴b²-12=36，b=±4

3

，
∴y=x²±4

3

x+3=（x±2

3

）²-9，
∴所求的最小值为-9．