试题

（2013·新余模拟）已知抛物线y=x²-2mx+3m²+2m．
（1）若抛物线经过原点，求m的值及顶点坐标，并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线上；
（2）是否无论m取任何实数值，抛物线顶点一定不在第四象限？说明理由；当实数m变化时，列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式，并求出该函数的最小函数值．

解：∵y=x²-2mx+3m²+2m=（x-m）²+2m²+2m，
∴抛物线顶点为（m，2m²+2m），
（1）将（0，0）代入抛物线解析式中解得：m=0或m=-

2

3

，
当m=0时，顶点坐标为（0，0）
当m=-

2

3

时，顶点坐标为（-

2

3

，-

4

9

），
∵第三象限的平分线所在的直线为y=x，
∴（0，0）在该直线上，（-

2

3

，-

4

9

）不在该直线上；

（2）∵抛物线顶点为（m，2m²+2m），
∴①当m＞0时，2m²+2m＞0，此时抛物线顶点在第一象限；
②当m=0时，2m²+2m=0，此时抛物线的顶点在原点；
③当m＜0时，若2m²+2m＞0，则顶点坐标在第二象限；若2m²+2m＜0，则顶点坐标在第三象限，
∴m无论为何值抛物线的顶点一定不在第四象限；
设顶点横坐标为m，纵坐标为n，则n=2m²+2m，
∵n=2m²+2m=2（m+

1

2

）²-

1

2

∴当m=-

1

2

时，n有最小值-

1

2

．
解：∵y=x²-2mx+3m²+2m=（x-m）²+2m²+2m，
∴抛物线顶点为（m，2m²+2m），
（1）将（0，0）代入抛物线解析式中解得：m=0或m=-

2

3

，
当m=0时，顶点坐标为（0，0）
当m=-

2

3

时，顶点坐标为（-

2

3

，-

4

9

），
∵第三象限的平分线所在的直线为y=x，
∴（0，0）在该直线上，（-

2

3

，-

4

9

）不在该直线上；

（2）∵抛物线顶点为（m，2m²+2m），
∴①当m＞0时，2m²+2m＞0，此时抛物线顶点在第一象限；
②当m=0时，2m²+2m=0，此时抛物线的顶点在原点；
③当m＜0时，若2m²+2m＞0，则顶点坐标在第二象限；若2m²+2m＜0，则顶点坐标在第三象限，
∴m无论为何值抛物线的顶点一定不在第四象限；
设顶点横坐标为m，纵坐标为n，则n=2m²+2m，
∵n=2m²+2m=2（m+

1

2

）²-

1

2

∴当m=-

1

2

时，n有最小值-

1

2

．