试题

对于一个自然数n，如果能找到自然数a（a＞0）和b（b＞0），使n-1=a+b+ab，则称n为一个“十字相乘数”，例如：4-1=1+1+1×1，则4是一个“十字相乘数”，在1～20这20个自然数中，“十字相乘数”共有个．

解：由n-1=a+b+ab可知，n=a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
当a=b时，“十字相乘数”可取4，9，16这3个数；
当a≠b时，不妨设a＞b，则
若b=2时，则a＞2，且a+1≤

20

3

，a≤

17

3

=5

2

3

，
故a=3，4，5，此时“十字相乘数”为12，15，18；
若b=3时，则a＞3，且a+1≤

20

4

，
a≤4，故a=4，此时“十字相乘数”为20；
若b＞3，不合题意；
同理可得出：当a=1，b=2或3或4或6时，n=6或8或10或14，
故符合题意的“十字相乘数”一共有11个．
故答案为：11．