试题

题目：
定义新运算：（a，b）·（c，d）=（ac，bd），（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d）（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd
（1）求（1，2）*（3，-4）的值；
（2）已知（1，2）·（p，q）=（2，-4），分别求出p与q的值；
（3）在（2）的条件下，求（1，2）⊕（p，q）的结果；
（4）已知x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，求（x，5）*（y，xy）的值．
答案
解：（1）∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，
∴（1，2）*（3，-4）=12+32-2×（-4）
=1+9+8
=18；

（2）∵（a，b）·（c，d）=（ac，bd），
∴（1，2）·（p，q）=（1×p，2×q），
∵（1，2）·（p，q）=（2，-4），
∴p=2，2q=-4，
∴q=-2；

（3）∵q=-2，p=2，（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），
∴（1，2）⊕（p，q）
=（1，2）⊕（2，-2）
=（3，0）；

（4）∵x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，
∴x2+y2=3，xy=1，
∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，
∴（x，5）*（y，xy）
=x2+y2-5xy
=3-5
=-2．
解：（1）∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，
∴（1，2）*（3，-4）=12+32-2×（-4）
=1+9+8
=18；

（2）∵（a，b）·（c，d）=（ac，bd），
∴（1，2）·（p，q）=（1×p，2×q），
∵（1，2）·（p，q）=（2，-4），
∴p=2，2q=-4，
∴q=-2；

（3）∵q=-2，p=2，（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），
∴（1，2）⊕（p，q）
=（1，2）⊕（2，-2）
=（3，0）；

（4）∵x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，
∴x2+y2=3，xy=1，
∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，
∴（x，5）*（y，xy）
=x2+y2-5xy
=3-5
=-2．
考点梳理
有理数的混合运算；完全平方式；因式分解的应用．
（1）由（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，即可推出（1，2）*（3，-4）=12+32-2×（-4），通过计算即可推出结果；
（2）由（a，b）·（c，d）=（ac，bd），（1，2）·（p，q）=（1×p，2×q），所以p=2，2q=-4，通过解方程即可推出q的值；
（3）由（2）所推出的结论，结合已知条件，套用公式后即可推出结果；
（4）由x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，即可推出x2+y2=3，xy=1，然后通过套用公式可知，原式=x2+y2-5xy，通过代入求值即可求出结果．
本题主要考查有理数的混合运算，关键在于正确的根据已知条件套用公式．
新定义；整体思想．
找相似题