试题

题目：
方程a2-b2=2004的正整数解有
2
2
组．
答案
2

解：∵方程a2-b2=2004的解是正整数，
∴a+b，a-b也为正整数，即（a+b）（a-b）=2004，
又∵2004可分解为2与1002、3与668、4与501、6与334、12与167，
①当2004分解为2与1002时，则
a+b=1002
a-b=2
，解得a=504，b=502，符号题意；
②当2004分解为3与668时，则
a+b=668
a-b=3
，解得a=
671
2
，b=
665
2
，与正整数解矛盾，故舍去；
③当2004分解为4与501时，则
a+b=501
a-b=4
，解得a=
505
2
，b=
497
2
，与正整数解矛盾，故舍去；
④当2004分，6与334时，则
a+b=334
a-b=6
，解得a=170，b=164，符号题意；
⑤当2004分解，12与167时，则
a+b=167
a-b=12
，解得a=
179
2
，b=
155
2
，与正整数解矛盾，故舍去．
故答案为2．
考点梳理
因式分解的应用．
根据方程a2-b2=2004的正整数，则可确定a+b，a-b也为正整数解．将2004分解成正整数的相乘的形式．因而可分解为2×1002、3×668、4×501、6×334、12×167这五种．再就这五种情况分别求出a、b的值，验证是否是正整数．
本题考查因式分解．解决本题的关键是将2004写成两个正整数相乘的形式、a2-b2写成（a+b）（a-b）的形式，并与前者对应相等，求解a、b．
分类讨论．
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