试题

题目：
实数x，y，z，w满足
(22x+1)(22y+2)(22z+4)(22w+8)
128
=2x+y+z+w，则x2+y2+z2+w2=
7
2
7
2
．
答案
7
2

解：原式可化为
(22x+1)(22y-1+1)(22z-2+1)(22w-3+1)· 21+2+3  
27
=2x+y+z+w；
即（22x+1）（22y-1+1）（22z-2+1）（22w-3+1）=2x+y+z+w+1；
等式的右边是2的幂乘积的形式，那么根据质因数分解定理知：等式左边也必须是2的幂相乘的形式；
显然，22x=22y-1=22z-2=22w-3=1，即2x=2y-1=2x-2=2w-3=0，
解得：x=0，y=
1
2
，z=1，w=
3
2
，
所以x2+y2+z2+w2=
7
2
．
考点梳理
幂的乘方与积的乘方；因式分解的应用．
首先将原等式进行化简，然后根据等式左右两边质因数分解的具体情况判断出四个未知数的值．
题目中既用到了分式的基本性质、幂的运算，还涉及到质因数分解的相关知识，难度较大．
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