试题

题目：
已知一个多项式P=2a2-8ab+17b2-16a-4b+2077，当a，b为何值时，P有最小值？并求出P的最小值．
答案
解：由题意，得
P=a2+a2-8ab+b2+16b2-16a-4b+2077，
=（a2-16a+64）+（a2-8ab+16b2）+（b2-4b+4）+2009，
=（a-8）2+（a-4b）2+（b-2）2+2009，
∵要使P值最小，则（a-8）2、（a-4b）2、（b-2）2 最小，它们都是非负数，所以最小值为0，
∴a=8，b=2时，P的最小值为2009．
答：当a=8，b=2为何值时，P有最小值，P的最小值为2009．
解：由题意，得
P=a2+a2-8ab+b2+16b2-16a-4b+2077，
=（a2-16a+64）+（a2-8ab+16b2）+（b2-4b+4）+2009，
=（a-8）2+（a-4b）2+（b-2）2+2009，
∵要使P值最小，则（a-8）2、（a-4b）2、（b-2）2 最小，它们都是非负数，所以最小值为0，
∴a=8，b=2时，P的最小值为2009．
答：当a=8，b=2为何值时，P有最小值，P的最小值为2009．
考点梳理
因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．
要解答本题的关键是把原式配成非负数的和的形式，利用非负数的和定理就可以求出P的最小值．就需要根据完全平方公式的特征对式子进行变形，变成非负数与常数的和的形式．就要将2a2，17b2，进行变形为a2+a2，和b2+16b2，变化这两步是关键．这样就可以将原式变形，求値了．
本题考查的是配方的运用，非负数的性质，偶次方的性质．要求学生具有较强的知识综合能力．
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