试题

题目：
已知四个实数a，b，c，d，且a≠b，c≠d．若四个关系式：a2+ac=4，b2+bc=4，c2+ac=8，d2+ad=8同时成立，试求a，c的值．
答案
解：由（a2+ac）-（b2+bc）=4-4=0，（c2+ac）-（d2+ad）=8-8=0，
得 （a-b）（a+b+c）=0，（c-d）（a+c+d）=0，
∵a≠b，c≠d，
∴a+b+c=0，a+c+d=0，
∴b=d=-（a+c）．
又（a2+ac）+（c2+ac）=4+8=12，（a2+ac）-（c2+ac）=4-8=-4，
得a+c=±2
3
，（a-c）（a+c）=-4．
当a+c=2
3
时，a-c=-
2
3
3
，
解得a=
2
3
3
，c=
4
3
3
，b=d=-2
3

当a+c=-2
3
，a-c=
2
3
3
，
解得a=-
2
3
3
，c=-
4
3
3
，b=d=2
3
．
解：由（a2+ac）-（b2+bc）=4-4=0，（c2+ac）-（d2+ad）=8-8=0，
得 （a-b）（a+b+c）=0，（c-d）（a+c+d）=0，
∵a≠b，c≠d，
∴a+b+c=0，a+c+d=0，
∴b=d=-（a+c）．
又（a2+ac）+（c2+ac）=4+8=12，（a2+ac）-（c2+ac）=4-8=-4，
得a+c=±2
3
，（a-c）（a+c）=-4．
当a+c=2
3
时，a-c=-
2
3
3
，
解得a=
2
3
3
，c=
4
3
3
，b=d=-2
3

当a+c=-2
3
，a-c=
2
3
3
，
解得a=-
2
3
3
，c=-
4
3
3
，b=d=2
3
．
考点梳理
因式分解的应用．
此题首先由已知得出a+b+c=0，a+c+d=0，得出b=d，再由（a2+ac）+（c2+ac）=4+8=12，（a2+ac）-（c2+ac）=4-8=-4，得出a+c=±2
3
，（a-c）（a+c）=-4，然后讨论得出a，c的值．
此题考查的知识点是因式分解的应用，通过等式加减及运用因式分解是关键．
计算题．
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