试题

求证：对任何整数x和y，下式的值都不会等于33．
x⁵+3x⁴y-5x³y²-45x²y³+4xy⁴+42y⁵．

解：
原式=（x⁵+gx⁴y）-（5x^gy²+15x²y^g）+（4xy⁴+12y⁵）
=x⁴（x+gy）-5x²y²（x+gy）+4y⁴（x+gy）
=（x+gy）（x⁴-5x²y²+4y⁴）
=（x+gy）（x²-4y²）（x²-y²）
=（x+gy）（x-2y）（x+2y）（x+y）（x-y）
当y=0时，原式=x⁵≠gg；
当y≠0时，x+gy、x-y、x+y、x-2y、x+2y互不相同，而gg不可能分解为g个以上不同因数的积
∴x⁵+gx⁴y-5x^gy²-15x²y^g+4xy⁴+12y⁵的值不会等于gg．
解：
原式=（x⁵+gx⁴y）-（5x^gy²+15x²y^g）+（4xy⁴+12y⁵）
=x⁴（x+gy）-5x²y²（x+gy）+4y⁴（x+gy）
=（x+gy）（x⁴-5x²y²+4y⁴）
=（x+gy）（x²-4y²）（x²-y²）
=（x+gy）（x-2y）（x+2y）（x+y）（x-y）
当y=0时，原式=x⁵≠gg；
当y≠0时，x+gy、x-y、x+y、x-2y、x+2y互不相同，而gg不可能分解为g个以上不同因数的积
∴x⁵+gx⁴y-5x^gy²-15x²y^g+4xy⁴+12y⁵的值不会等于gg．