试题

题目：
青果学院如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为
9+(12-x)2
+
4+x2
9+(12-x)2
+
4+x2
；
（2）当AC+CE的值最小时，最小值为
13
13
；
（3）仿照（1）（2）中的方法，构造图形并求出代数式 
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值．（图中的线段标出必要的数和字母）
答案
9+(12-x)2
+
4+x2

13

青果学院解：（1）AC+CE=
BC2+AB2
+
CD2+DE2
=
9+(12-x)2
+
4+x2
，即AC+CE=
9+(12-x)2
+
4+x2
；
故填：
9+(12-x)2
+
4+x2
；

（2）当点C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小．
如图1所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD．
AE=
AF2+EF2
=
122+(3+2)2
=13．
故填：13；

（3）如图2所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，
DB=24，连接AE交BD于点C，青果学院
∵AE=AC+CE=
x2+9
+
(24-x)2+16
，
∴AE的长即为代数式 
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=3，AF=BD=12．
所以AE=
AF2+EF2
=
242+(3+4)2
=25，即AE的最小值是25．
所以代数式 
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值为25．
考点梳理
轴对称-最短路线问题．
1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式 
x2+9
+
(24-x)2+16
的最小值．
本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
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