试题

题目:
青果学院(2011·峨山县模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线L:y=x是第一、三象限的角平分线.
(1)观察与探究:
由图易知:A(0,2)关于直线L的对称点A′的坐标为(2,0);B(5,3)关于直线L的对称点B′的坐标为(3,5);请在图中标出C(-6,1)关于直线L的对称点C′的位置,并写出它的坐标:C′
(1,-6)
(1,-6)

(2)归纳与发现:
结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线L的对称点P′的坐标为
(b,a)
(b,a)
(不必证明);
(3)运用与拓广:已知两点M(3,-2)、N(-1,-4),试在直线L上确定一点Q,使点Q到M、N两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.
答案
(1,-6)

(b,a)

解:(1)C′(1,-6)(2分)

(2)(b,a)(4分)

(3)直线L的解析式为y=x
作点N关于L的对称点N′(-4,-1),设直线MN的解析式为y=kx+b(7分)青果学院
-1=-4k+b
-2=3k+b

k=-
1
7
b=-
11
7

y=-
1
7
x-
11
7
(10分)
解方程组
y=x
y=-
1
7
x-
11
7

得x=y=-
11
8

∴直线L上的点Q(-
11
8
,-
11
8
)
符合条件.(12分)
考点梳理
轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.
(1)作C(-6,1)关于直线l的对称点C',C'(1,-6);
(2)观察以上三组点的坐标,你会发现坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为(b,a);
(3)点N关于直线l的对称点N'的坐标为(-4,-1),可求出点M、点N'的直线解析式为y=-
1
7
x-
11
7
.点Q是直线y=-
1
7
x-
11
7
与直线l:y=x的交点,解方程组:
y=x
y=-
1
7
x-
11
7
即可得到点Q的坐标.
此题主要考查轴对称--最短路线问题,综合运用了一次函数的知识.
探究型.
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