试题

（2013·石景山区一模）问题解决：
已知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作CA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B，联结CD、DE．
（1）请问：点D满足什么条件时，CD+DE的值最小？
（2）若AB=8，AC=4，BE=2，设AD=x．用含x的代数式表示CD+DE的长（直接写出结果）．
拓展应用：
参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值．

解：（1）当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小，
（2）CD+DE=

x2+16

+

(8-x)2+4

，
（3）如图，令AB=4，AC=1，BE=2，设AD=x，则BD=4-x，
CD+DE=

AD2+AC2

+

BD2+BE2

=

x2+1

+

(4-x)2+4

，
∵D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小，
∴CE的长即为

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值，
过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，
∵CA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴AF∥BE，
∴四边形AFEB是矩形，
∴AF=BE=2，EF=AB=4，
在Rt△CFE中，∠F=90°，CF=3，
∴

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值为5．
解：（1）当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小，
（2）CD+DE=

x2+16

+

(8-x)2+4

，
（3）如图，令AB=4，AC=1，BE=2，设AD=x，则BD=4-x，
CD+DE=

AD2+AC2

+

BD2+BE2

=

x2+1

+

(4-x)2+4

，
∵D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小，
∴CE的长即为

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值，
过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，
∵CA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴AF∥BE，
∴四边形AFEB是矩形，
∴AF=BE=2，EF=AB=4，
在Rt△CFE中，∠F=90°，CF=3，
∴

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值为5．