试题

（2013·六盘水）（1）观察发现
   如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
   作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

   如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．
 （2）实践运用
   如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，

AC

的度数为60°，点B是

AC

的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．

  （3）拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

解：（1）观察发现
如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，
∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点
∴CE⊥AB，∠BCE=

1

2

∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=

3

BE=

3

；
故答案为

3

；

（2）实践运用
如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，
∵

AC

的度数为60°，点B是

AC

的中点，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE=

2

OA=

2

，
∵AE的长就是BP+AP的最小值．
故答案为

2

；

（3）拓展延伸
如图（4）．