试题

平面是这样，那曲面呢？我们再看一题（如图1），从A到B，怎样走最近呢？与前两题相同，把圆柱体展开（如图2），此时，只有A点位于与长方形的交界处时，才是最短路径，且只有一条最短路径AB．

从上面几题可以看出立体图形中的最短路径问题，都可先把立题图形转化成平面图形再思考．而且得出正方体有6条最短路径；长方体有2条最短路径；圆柱有1条最短路径．这短短的八个字还真是奥妙无穷啊！
探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）

探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）

探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）

探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）

（1）解：如图所示．线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P．

（2）解：
首先，作点B关于L的对称点B′，（如图所示），
因为OB'=OB，∠BOP=∠B′，OP=OP，所以△OPB≌△OPB′．
所以，PB=PB′．
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB′．
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一．
因此只用连接AB'即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P．

（3）解：利用探究问题二的结论，
作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E（如图1）．
连接DE（如图所示），据上题结论，我们可得，
AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，
所以，这时的周长是最短的．

（4）解：有了上一题的铺垫，
本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E（如图2），
再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．
如图．ABCD便是周长最小的．
（1）解：如图所示．线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P．

（2）解：
首先，作点B关于L的对称点B′，（如图所示），
因为OB'=OB，∠BOP=∠B′，OP=OP，所以△OPB≌△OPB′．
所以，PB=PB′．
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB′．
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一．
因此只用连接AB'即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P．

（3）解：利用探究问题二的结论，
作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E（如图1）．
连接DE（如图所示），据上题结论，我们可得，
AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，
所以，这时的周长是最短的．

（4）解：有了上一题的铺垫，
本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E（如图2），
再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．
如图．ABCD便是周长最小的．