试题

已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC．
（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB=AC．
（3）猜想，若O点在△ABC的外部，AB=AC成立吗？

证明：（1）过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵

OD=OE OB=OC

，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵

OD=OE OB=OC

，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）不一定成立．
证明：如图3，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，
则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵

OD=OE OB=OC

，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
如图4，可知AB≠AC．
证明：（1）过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵

OD=OE OB=OC

，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵

OD=OE OB=OC

，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）不一定成立．
证明：如图3，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，
则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵

OD=OE OB=OC

，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
如图4，可知AB≠AC．