试题

题目:
青果学院如图,△ABC中,∠A=60°,角平分线BE、CF相交于点P,下列结论:
①∠AEP+∠AFP=180°;②PE=PF;③连接AP,则AP平分∠BAC;④△PFB与△PEC的面积和等于△PBC的面积;⑤AE=AF.
其中正确的个数是(  )



答案
C
解:∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°,
∵角平分线BE、CF相交于点P,
∴∠PBC+∠PCB=
1
2
(∠ABC+∠ACB)=
1
2
×120°=60°,
在△BPC中,∠BPC=180°-60°=120°,
∴∠AEP+∠AFP=360°-60°-120°=180°,故①正确;
∠BPF=∠CPE=180°-120°=60°,
在BC上截取BG=BF,青果学院
在△BPF和△BPG中,
BF=BG
∠PBF=∠PBG
BP=BP

∴△BPF≌△BPG(SAS),
∴PF=PG,∠BPG=∠BPF=60°,
∴∠CPG=∠CPE=60°,
在△CPG和△CPE中,
∠PCG=∠PCE
CP=CP
∠CPG=∠CPE

∴△CPG≌△CPE(ASA),
∴PE=PG,CE=CG,
∴PE=PF,故②正确;
∵角平分线BE、CF相交于点P,
∴连接AP,则AP平分∠BAC,故③正确;
由题意,点P到AB、BC、AC的距离相等,设为h,
∴△PFB与△PEC的面积和=
1
2
BF·h+
1
2
CE·h=
1
2
BG·h+
1
2
CG·h=
1
2
BC·h=△PBC的面积,故④正确;
⑤只有在AB=AC时才成立.
综上所述,正确的是①②③④共4个.
故选C.
考点梳理
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠BPC=120°,利用四边形的内角和定理求出∠AEP+∠AFP=180°,判断出①正确;从而得到∠BPF=∠CPE=60°,在BC上截取BG=BF,利用“边角边”证明△BPF和△BPG全等,根据全等三角形对应边相等可得PF=PG,全等三角形对应角相等可得∠BPG=∠BPF=60°,然后求出∠CPG=∠CPE,再利用“角边角”证明△CPG和△CPE全等,根据全等三角形对应边相等可得PE=PG,CE=CG,从而得到PE=PF,判断出②正确,根据三角形的角平分线相交于一点判断出③正确;根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点P到AB、BC、AC的距离相等,然后求出④正确;⑤只有在AB=AC时才成立.
本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,也是本题的难点.
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