题目:

如图,△ABC中,∠A=60°,角平分线BE、CF相交于点P,下列结论:
①∠AEP+∠AFP=180°;②PE=PF;③连接AP,则AP平分∠BAC;④△PFB与△PEC的面积和等于△PBC的面积;⑤AE=AF.
其中正确的个数是( )
答案
C
解:∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°,
∵角平分线BE、CF相交于点P,
∴∠PBC+∠PCB=
(∠ABC+∠ACB)=
×120°=60°,
在△BPC中,∠BPC=180°-60°=120°,
∴∠AEP+∠AFP=360°-60°-120°=180°,故①正确;
∠BPF=∠CPE=180°-120°=60°,
在BC上截取BG=BF,

在△BPF和△BPG中,
,
∴△BPF≌△BPG(SAS),
∴PF=PG,∠BPG=∠BPF=60°,
∴∠CPG=∠CPE=60°,
在△CPG和△CPE中,
,
∴△CPG≌△CPE(ASA),
∴PE=PG,CE=CG,
∴PE=PF,故②正确;
∵角平分线BE、CF相交于点P,
∴连接AP,则AP平分∠BAC,故③正确;
由题意,点P到AB、BC、AC的距离相等,设为h,
∴△PFB与△PEC的面积和=
BF·h+
CE·h=
BG·h+
CG·h=
BC·h=△PBC的面积,故④正确;
⑤只有在AB=AC时才成立.
综上所述,正确的是①②③④共4个.
故选C.