试题

题目:
青果学院如图,AD、CE是△ABC的角平分线,AD、CE相交于点F,已知∠B=60°,则下列说法中正确的个数是(  )
①AF=FC;②△AEF≌△CDF;③AE+CD=AC;④∠AFC=120°.



答案
B
青果学院解:①假设AF=FC.则∠1=∠4.
∵AD、CE是△ABC的角平分线,
∴∠BAC=2∠1,∠BCA=2∠4,
∴∠BAC=∠BCA.
∴当∠BAC≠∠BCA时,该结论不成立;
故①不一定正确;

②假设△AEF≌△CDF,则∠2=∠3.
同①,当∠BAC=∠BCA时,该结论成立,
∴当∠BAC≠∠BCA时,该结论不成立;
故②不一定正确;

③在AC上取AG=AE,连接FG,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
在△AEF与△AGF中,
AE=AG
∠2=∠1
AF=AF

∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG;
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,
∴∠4+∠1=
1
2
∠ACB+
1
2
∠BAC=
1
2
(∠ACB+∠BAC)=
1
2
(180°-∠B)=60°
则∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°;
∴∠AFC=∠DFE=120°,∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,
则∠CGF=60°,
∴∠CFD=∠CFG,
在△GFC与△DFC中,
∠CFD=∠CFG
CF=CF
∠GCF=∠DCF

∴△GFC≌△DFC(ASA),
∴DC=GC,
∵AC=AG+GC,
∴AC=AE+CD.
故③正确;

④由③知,∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°,即∠AFC=120°;
故④正确;
综上所述,正确的结论有2个.
故选:B.
考点梳理
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
①、②当AF=FC、△AEF≌△CDF时,需要∠BAC=∠BCA;
③、④在AC上取AG=AE,连接FG,即可证得△AEG≌△AGF,得∠AFE=∠AFG;再证得∠CFG=∠CFD,则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△GFC≌△DFC,可得DC=GC,即可得结论.
本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的性质.在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
找相似题