试题

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，直线l满足条件：点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半．问这样的直线l有几条？请画图说明，并求点C到直线l的距离．

解：如图所示：这样的直线l有4条；
过C作CM⊥l₁，垂足分别为M、N，交AB于O，
∵l₂∥l₁∥AB，
∴CM⊥l₂，
∵AC=BC=6，
∴CO⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴AB=

6 2+62

=6

2

，
CO=

1

2

AB=3

2

，
∵点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，
∴CM=2

2

，
即C到直线l的距离为2

2

，
同理可得出：ON=CO=3

2

，CN=6

2

，
将l₁与AC交点D，与O连接，
∵CM=2

2

，l₂∥l₁∥AB，
∴CM=DM=2

2

，MO=3

2

-2

2

=

2

，
∵∠DMO=90°，
∴DO=

DM2+MO2

=

10

，
作CE⊥DO，AF⊥DO交OD延长线于点F，
∵点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，
∴AF=

1

2

EC，
∴S_△CDO=2S_△ADO，
∴S_△CDO=

2

3

S_△ACO=

2

3

×AO·CO=

2

3

×3

2

×3

2

=12，
S_△CDO=

1

2

×CE×DO=

1

2

×EC×

10

=12，
解得：CE=

6 10

5

，
同理可得：与CO对称的直线l₃，
此时C到直线距离为

6 10

5

，
综上所述：C到直线l的距离为2

2

、6

2

、

6

5

10

、

6

5

10

．
解：如图所示：这样的直线l有4条；
过C作CM⊥l₁，垂足分别为M、N，交AB于O，
∵l₂∥l₁∥AB，
∴CM⊥l₂，
∵AC=BC=6，
∴CO⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴AB=

6 2+62

=6

2

，
CO=

1

2

AB=3

2

，
∵点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，
∴CM=2

2

，
即C到直线l的距离为2

2

，
同理可得出：ON=CO=3

2

，CN=6

2

，
将l₁与AC交点D，与O连接，
∵CM=2

2

，l₂∥l₁∥AB，
∴CM=DM=2

2

，MO=3

2

-2

2

=

2

，
∵∠DMO=90°，
∴DO=

DM2+MO2

=

10

，
作CE⊥DO，AF⊥DO交OD延长线于点F，
∵点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，
∴AF=

1

2

EC，
∴S_△CDO=2S_△ADO，
∴S_△CDO=

2

3

S_△ACO=

2

3

×AO·CO=

2

3

×3

2

×3

2

=12，
S_△CDO=

1

2

×CE×DO=

1

2

×EC×

10

=12，
解得：CE=

6 10

5

，
同理可得：与CO对称的直线l₃，
此时C到直线距离为

6 10

5

，
综上所述：C到直线l的距离为2

2

、6

2

、

6

5

10

、

6

5

10

．