试题

在图1-3中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．

（1）操作发现：
①当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB，小明发现：如果先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，那么△CGB恰可以拼接到△CHD的位置．请说明理由；
②对于拼接成的新四边形FGCH，小明通过度量发现其恰是正方形．请说明理由．
（2）实践探究：
小明进一步探究后发现：当2b＜a、2b=a、a＜2b＜2a、b=a时（即b≤a时），此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．请你类比图1的剪拼方法，在图2（a＜2b＜2a）中画出剪拼成一个新正方形的示意图．
（3）联想拓展：
当b＞a时，如图3的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

解：①∵△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，
∴AG=EH=a-b
又∵ED=a-2b
∴DH=EH-ED=b=BG（1分）
∵BC=DC∠B=∠CDH=90°
∴△CBG≌△CDH
∴△CGB可以拼接到△CHD的位置（3分）
②作FM⊥AD于点M
∵△FAE为等腰直角三角形
∴FM=AM=EM=DH=b
∴MH=AD-AM+DH=a=DC（5分）
又∵∠FMH=∠CDH=90°
∴△FMH≌△DHC（6分）
∴FH=CH
∴FH=CH=CG=FG（7分）
∴四边形FGCH是菱形
又∵∠GFH=90°
∴四边形FGCH是正方形．（8分）

（2）、（3）剪拼方法如图2、3（每图（3分）．注：图3用其它剪拼方法能拼接成面积为a²+b²的正方形均给分．
（14分）

解：①∵△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，
∴AG=EH=a-b
又∵ED=a-2b
∴DH=EH-ED=b=BG（1分）
∵BC=DC∠B=∠CDH=90°
∴△CBG≌△CDH
∴△CGB可以拼接到△CHD的位置（3分）
②作FM⊥AD于点M
∵△FAE为等腰直角三角形
∴FM=AM=EM=DH=b
∴MH=AD-AM+DH=a=DC（5分）
又∵∠FMH=∠CDH=90°
∴△FMH≌△DHC（6分）
∴FH=CH
∴FH=CH=CG=FG（7分）
∴四边形FGCH是菱形
又∵∠GFH=90°
∴四边形FGCH是正方形．（8分）

（2）、（3）剪拼方法如图2、3（每图（3分）．注：图3用其它剪拼方法能拼接成面积为a²+b²的正方形均给分．
（14分）