试题

如图所示，A、B两村庄位于河流（直线L）的两侧．
（1）为促进两村民相互交往，A、B两村村委会商议，在河上架一座桥，然后各村都修一条通往桥的公路．请问桥架在何处，才能使修路和架桥总造价最低？（要求：在河上标出架桥位置，并写出所依据的数学原理．）
（2）A村决定，把河流L中的水引到村子，以方便村民用水和灌溉农田．怎样修建引水渠，才能使引水渠最短？请你帮助A村画出饮水线路图，并写出所依据的数学原理．

解：（1）如图，作BB'垂直于河岸L，使BB′等于河宽，
连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥L，
则PD∥BB′且PD=BB′，
于是四边形PDBB′为平行四边形，故PD=BB′．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短；

（2）如图，AM即为所求线段．
解：（1）如图，作BB'垂直于河岸L，使BB′等于河宽，
连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥L，
则PD∥BB′且PD=BB′，
于是四边形PDBB′为平行四边形，故PD=BB′．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短；

（2）如图，AM即为所求线段．