试题

（2013·常州模拟）（1）请在一个3×2的矩形网格里（每个小正方形的边长都是1），画出一个以格点为顶点的等腰直角三角形，使其直角边长为

5

，并适当加以文字说明．
（2）借助上述图形，解释下列结论：
若α与β为锐角，且tanα=

1

2

，tanβ=

1

3

，则α+β=45°．
（3）构造几何图形，解释下列结论：
若α与β为锐角，且tanα=

b

a

，tanβ=

a-b

a+b

，其中a＞b＞0，则α+β=45°．

解：（1）如图，BC=CA=

5

，AB=

10

，∠BCA=90°，
△ABC为等腰直角三角形．

（2）在上图中，令∠DBC=α，∠ABF=β，则tanα=

1

2

，tanβ=

1

3

，
∵∠DBF=90°，∠ABC=45°∴∠DBC+∠ABF=45°，
即α+β=45°，从而结论得以解释．

（3），
如图，先画直角△ABP，使AB=a，BP=b，∠B=90°．
再在BP的延长线上取点C，使PC=a，然后补全图形ABCD，
在边CD上取点Q，使CQ=b．连结AQ，则QD=a-b，AD=a+b．
∵tanα=

b

a

，tanβ=

a-b

a+b

，
∴∠BAP=α，∠DAQ=β，
∵△ABP≌△PCQ，
∴△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=45°，
∴∠BAP+∠DAQ=45°，
即α+β=45°．
解：（1）如图，BC=CA=

5

，AB=

10

，∠BCA=90°，
△ABC为等腰直角三角形．

（2）在上图中，令∠DBC=α，∠ABF=β，则tanα=

1

2

，tanβ=

1

3

，
∵∠DBF=90°，∠ABC=45°∴∠DBC+∠ABF=45°，
即α+β=45°，从而结论得以解释．

（3），
如图，先画直角△ABP，使AB=a，BP=b，∠B=90°．
再在BP的延长线上取点C，使PC=a，然后补全图形ABCD，
在边CD上取点Q，使CQ=b．连结AQ，则QD=a-b，AD=a+b．
∵tanα=

b

a

，tanβ=

a-b

a+b

，
∴∠BAP=α，∠DAQ=β，
∵△ABP≌△PCQ，
∴△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=45°，
∴∠BAP+∠DAQ=45°，
即α+β=45°．