试题

A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？

解：作等边△ABE和等边△CDF，等边△BPM．

由于将曲线段用直线段代替，长度不会增加，因此可以假定公路系统如第一个图所示（必要时，P、Q两点可以重合）．
如第二个图所示，作等边△ABE和△CDF，再作等边△BPM．
易证△ABP≌△EBM，则AP=EM
从而AP+BP=EM+MP≥EP，当且仅当M在EP上时上式等号成立．
同理可证CQ+DQ≥QF
故AP+BP+PQ+CQ+DQ≥EP+PQ+QF≥EF，
当且仅当P、Q都在EF上时，上式等号成立．
易证当∠ABP=∠BAP=30°时，M在EP上，
同理，当∠DCQ=∠CDQ=30°时，CQ+DQ=QF．
故如第三个图所示的情况时，AP+BP+PQ+CQ+DQ最小．
解：作等边△ABE和等边△CDF，等边△BPM．

由于将曲线段用直线段代替，长度不会增加，因此可以假定公路系统如第一个图所示（必要时，P、Q两点可以重合）．
如第二个图所示，作等边△ABE和△CDF，再作等边△BPM．
易证△ABP≌△EBM，则AP=EM
从而AP+BP=EM+MP≥EP，当且仅当M在EP上时上式等号成立．
同理可证CQ+DQ≥QF
故AP+BP+PQ+CQ+DQ≥EP+PQ+QF≥EF，
当且仅当P、Q都在EF上时，上式等号成立．
易证当∠ABP=∠BAP=30°时，M在EP上，
同理，当∠DCQ=∠CDQ=30°时，CQ+DQ=QF．
故如第三个图所示的情况时，AP+BP+PQ+CQ+DQ最小．