试题

（2009·恩施州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S₁=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S₂=PA+PB．
（1）求S₁、S₂，并比较它们的大小；
（2）请你说明S₂=PA+PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

解：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，
则BC=40，
又∵AP=10，
∴BD=BC-CD=40-10=30．
在△ABD中，AD=

502-302

=40，
在Rt△PBC中，
∴BP=

CP2+BC2

=40

2

，
S₁=40

2

+10．
图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，
又∵BC=40，
∴BA'=

402+502

=10

41

，
由轴对称知：PA=PA'，
∴S₂=BA'=10

41

，
∴S₁＞S₂．

（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA'，
∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，
∴S₂=BA'为最小．

（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，
B′G=40+10=50，A′G=30+30+40=100，
A'B'=

1002+502

=50

5

，
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50

5

，
∴所求四边形的周长为50+50

5

．
解：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，
则BC=40，
又∵AP=10，
∴BD=BC-CD=40-10=30．
在△ABD中，AD=

502-302

=40，
在Rt△PBC中，
∴BP=

CP2+BC2

=40

2

，
S₁=40

2

+10．
图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，
又∵BC=40，
∴BA'=

402+502

=10

41

，
由轴对称知：PA=PA'，
∴S₂=BA'=10

41

，
∴S₁＞S₂．

（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA'，
∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，
∴S₂=BA'为最小．

（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，
B′G=40+10=50，A′G=30+30+40=100，
A'B'=

1002+502

=50

5

，
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50

5

，
∴所求四边形的周长为50+50

5

．